1) Moro longe de Miami e não tenho como pernoitar aqui, em quanto tempo meu documento ficaria pronto?

O prazo dado para a entrega é, em geral, de 24 horas úteis, mas se a pessoa chegar até às 11 horas da manhã, receberá a documentação no mesmo dia, à exceção de passaporte, que pode levar até 7 (sete) dias úteis, e visto, que é de um dia para outro. Explique sua situação ao funcionário que está atendendo, pois se for possível se procurará atender no mesmo dia. Em situações como a sua, recomenda-se o atendimento com hora marcada (solicitado por e-mail, veja na página principal) ou solicitar documento pelo correio, se aplicável. No caso de passaportes, o prazo de entrega é de 10 (dez) dias úteis.

2) Será que poderia ser atendida imediatamente, uma vez que trago duas crianças, uma de colo e outra de 2 anos de idade para fazer um  registro de nascimento?
Infelizmente seu caso não é único: boa parte dos brasileiros que estão aguardando também vieram com seus filhos menores. 

3) Como se faz para trabalhar no Consulado?
Ainda recentemente abrimos concurso e foram admitidos novos funcionários. É bom verificar sempre os jornais e revistas brasileiros locais, e esperar a próxima ocasião para prestar concurso.